\section{Newton法与Poincaré-Siegel定理}
设$X$为一个空间而$f, g \colon X \to X$为两个自映射.
假设我们在寻找共轭$h \colon (X, g) \to (X, f)$.
换一个视角, 我们考虑映射
\[
\cF \colon (h,f) \mapsto h \circ f \circ h^{-1},
\]
则我们在求解关于$h$的方程
\begin{equation}
\label{eq:NewtonEq}
\cF(h,f) = g.
\end{equation}
回顾一下用来解以实数为变量的方程的Newton法.
这里的区别是我们的变量是函数.
但是我们仍可以大胆地假设$\cF$可微并在局部一阶展开.
更准确的, 我们假设$f$在$g$附近.
故我们在$(\id,g)$附近展开,
\[
\cF(h,f) = \cF(\id, g) + D_1 \cF(\id, g) (h - \id) + D_2\cF(\id, g) (f - g) + \text{高阶项},
\]
其中$D_1\cF$与$D_2\cF$分别是相对第一个变量与相对第二个变量的切映射.
注意到$\cF(\id, g) = g$, 故$\cF_2(\id, g) = \id$.
故方程\eqref{eq:NewtonEq}的一阶近似为
\begin{equation}
\label{eq:NewtonEq1}
D_1\cF(\id, g)(h - \id) + f - g = 0.
\end{equation}
Newton法的想法就是求解这个以$h$为变量的方程.
然后将$\cF(h,f)$代入$f$并迭代.

更具体的步骤如下.
\begin{enumerate}
\item 令$f_0 = f$.
\item 对于每个$n \in \N$, 找到$h_n$使得
\[
D_1\cF(\id, g)(h_n - \id) + f_n - g = 0.
\]
\item \label{it:Newton3}证明$h_n$可逆.
\item 令$f_{n+1} = \cF(h_n, f_n)$.
\item 重复直到得到序列$(f_n)_{n\geq 0}$与$(h_n)_{n\geq 0}$.
\item 证明序列$f_n$收敛到$g$, 序列$h_n \circ \dotsb \circ h_1 \circ h_0$收敛到一个可逆函数$h$.
\item \label{it:Newton7}由此得到$\cF(h,f) = g$.
\end{enumerate}
要注意到, 无论是上面推导出\eqref{eq:NewtonEq1}的过程还是求解它, 都不需要严谨, 我们只需要给出$h_n$的构造并严谨证明步骤\ref{it:Newton3}至\ref{it:Newton7}.

我们运用此方法证明下面定理.
\begin{defn}
一个实数$\alpha \in \R$称为\emph{丢番图数}, 若存在常数$c > 0$, $d > 1$使得对于任何整数$(p,q) \in \Z \times (\N \setminus \{0\})$, 都有
\[
\abs{q \alpha - p} > c q^{-d}.
\]
\end{defn}

\begin{thm}[Poincaré-Siegel定理]
设
\[
f(z) = \lambda z + \text{高阶项}
\]
为$0$的邻域上的全纯函数,
满足下面两个条件之一,
\begin{itemize}
\item （Poincaré情形）
$\abs{\lambda} \neq 1$.
\item （Siegel情形）
$\lambda = e^{2\pi i \alpha}$且$\alpha \in \R$为丢番图数.
\end{itemize}
则, 存在全纯函数
\[
h(z) = z + \text{高阶项}
\]
使得$h \circ f \circ h^{-1} (z) = \lambda z$在$0$的一个邻域上成立.
\end{thm}
